Lesson2 文字式と式変形｜移項より先に知ってほしいこと
式変形になると、
急に手が止まる。
「＝をまたぐと符号が変わる」
と覚えたけれど、
掛け算や分数になると、
何をどこへ動かせばよいのか分からない。
そんな経験はありませんか。
でも、式の中の文字は
勝手に反対側へ移動しているわけではありません。
式変形の基本は、たった一つです。
等式の左右に、同じことをする。
この考え方がわかれば、
移項を忘れても自分で式を作り直せます。
「＝」は左右が同じという約束
次の式を見てください。
x + 3 = 8
x+3=8
これは、左側のx＋3と
右側の8が同じ値だという意味です。
「＝」は答えを置く記号ではありません。
左右が同じ大きさであることを示す、
天びんの中心です。
天びんの片側だけから重りを取れば、
バランスは崩れます。
両側から同じ重りを取れば、
バランスは保たれます。
足した数を消したいなら、両辺から引く
x＋3＝8から、
xだけを残したいとします。
左側にある＋3を消すため、
左右の両方から3を引きます。
x + 3 − 3 = 8 − 3
\displaystyle x+3-3=8-3
x = 5
x=5
左側だけから3を取ったのではありません。
両側から同じ3を引いた結果、
左側にxだけが残っています。
「移項すると符号が変わる」の正体
学校では、
＋3を右辺へ移すと−3になる、
と習ったかもしれません。
これは便利な近道ですが、
文字や数字が本当に移動したわけではありません。
両辺から3を引く途中の計算を、
短く書いたものです。
x + 3 = 8 → x = 8 − 3
\displaystyle x+3=8\quad\Rightarrow\quad x=8-3
符号が変わったように見えるのは、
反対の計算を両辺に行った結果です。
迷ったら移項の形を思い出すのではなく、
「何をすれば左側の余計なものが消えるか」
と考えてみてください。
掛けた数を消したいなら、両辺を割る
次は、xに3が掛かっている式です。
3x = 12
3x=12
xだけを残すには、
左右の両方を3で割ります。
3x / 3 = 12 / 3
\displaystyle \frac{3x}{3}=\frac{12}{3}
x = 4
x=4
掛け算を消す計算は割り算です。
足し算には引き算。
掛け算には割り算。
元の計算を打ち消す反対の計算を、
左右に同じように行います。
式変形の目的は「求めたい文字を一人にする」
式変形で最初に確認するのは、
どの文字を求めたいのかです。
オームの法則を使って考えます。
V = IR
V=IR
電流Iを求めたいなら、
Iに掛かっているRを消します。
両辺をRで割ると、
V / R = IR / R
\displaystyle \frac{V}{R}=\frac{IR}{R}
I = V / R
I=\frac{V}{R}
となります。
抵抗Rを求めたいなら、
今度は両辺をIで割ります。
V / I = IR / I
\displaystyle \frac{V}{I}=\frac{IR}{I}
R = V / I
R=\frac{V}{I}
三つの公式を別々に覚えなくても、
V＝IRから必要な形を作れます。
分数になっても、やっていることは同じ
電力の公式を見てみます。
P = VI
P=VI
電流Iを求めたいなら、
Iに掛かっているVを消したいので、
両辺をVで割ります。
I = P / V
I=\frac{P}{V}
電圧Vを求めたいなら、
両辺をIで割ります。
V = P / I
V=\frac{P}{I}
掛けてある文字で両辺を割る。
この考え方は、
オームの法則でも電力の公式でも同じです。
かっこは「ひとかたまり」で扱う
次の式では、少し注意が必要です。
V = I(R + r)
V=I(R+r)
Iには、Rだけではなく
かっこ全体のR＋rが掛かっています。
Iを一人にするには、
両辺をR＋r全体で割ります。
I = V / (R + r)
I=\frac{V}{R+r}
V/R＋rではありません。
分母になるのは、
Iに掛かっていたR＋rの全体です。
かっこを見たら、
どこまでが一つのまとまりなのかを確認してください。
0で割らないための条件も忘れない
両辺を文字で割るときは、
その文字が0ではないことが必要です。
I＝V/Rでは、R≠0。
R＝V/Iでは、I≠0として式変形しています。
電験3種の通常の計算では
途中で強く意識しないこともありますが、
数学としては、0で割ることはできません。
式を正しく扱うための条件として、
頭の片隅に置いておきましょう。
単位を使うと、式変形のミスに気づける
式を変形したら、
最後に単位を確認します。
I＝V/Rなら、
A = V / Ω
\mathrm{A}=\frac{\mathrm{V}}{\Omega}
電圧を抵抗で割ると電流の単位になります。
もし求めたいのが電流なのに、
答えの単位がΩになっていたら、
式の上下を逆にした可能性があります。
単位は、計算後につける飾りではありません。
式変形が正しいかを確認するための、
もう一つの答え合わせです。
よくある四つの間違い
① 求めたい文字を決めずに動かす
最初に「誰を一人にするか」を確認します。
② 片側だけ計算する
等式の左右には、必ず同じ計算をします。
③ かっこの一部だけを分母にする
掛かっているまとまり全体で割ります。
④ 移項の符号だけを暗記する
迷ったら、反対の計算を両辺に書きます。
まとめ
式変形は、文字を移動させる技ではありません。
等式の左右へ同じ計算を行い、
求めたい文字を一人にする操作です。
足したものは引く。
掛けたものでは割る。
かっこは全体で扱う。
そして、変形後は単位を確認する。
この順番で考えれば、
移項の形を忘れても戻ってこられます。
式を動かす前に、
左右のバランスを見てください。
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STEP1 Lesson3
指数と平方根
次は、2乗・10の累乗・平方根を扱います。
記号の形を覚えるのではなく、
同じ数を何回掛けているのか、
どの数を掛けた結果なのかから整理します。
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