Lesson3 指数と平方根｜手が止まってしまいませんか？
式の右上に小さな数字がついたり、
突然「√」が出てきたりすると、
それだけで難しい式に見えてしまう。
電験3種の勉強で、
そんなふうに手が止まったことはありませんか。
でも、指数と平方根は
まったく別の難しい計算ではありません。
指数は、同じ数を何回掛けるか。
平方根は、どの数を掛けた結果なのかを戻って考えること。
この二つは、行きと帰りの関係です。
記号の読み方から整理すれば、
電力の公式や単位換算も見通しやすくなります。
指数は「同じ数を何回掛けるか」
aの右上に2がついたa²を、
「aの2乗」と読みます。
a² = a × a
a^2=a\times a
右上の2は、
aに2を掛けるという意味ではありません。
aを2回、掛け合わせるという意味です。
同じように、aの3乗は
a³ = a × a × a
a^3=a\times a\times a
となります。
たとえば、3²＝3×3＝9。
2³＝2×2×2＝8です。
小さな数字は、
掛け算を何回並べるかを短く表しています。
指数の計算は、掛け算を書けば思い出せる
同じ文字の累乗どうしを掛けるときは、
指数を足します。
a² × a³ = a⁵
a^2\times a^3=a^{2+3}=a^5
aを2回掛けたものと、
aを3回掛けたものをつなげるので、
全部で5回になるからです。
割り算では、分母にある分だけ
掛け算が打ち消されます。
a⁵ / a² = a³
\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3\quad(a\neq0)
さらに、累乗をもう一度累乗するときは、
指数を掛けます。
(a²)³ = a⁶
(a^2)^3=a^{2\times3}=a^6
公式だけを忘れそうになったら、
同じ数の掛け算を一度書き出せば戻れます。
10の累乗は、大きさを短く表す道具
電気では、とても大きな数と
とても小さな数をよく扱います。
そこで役立つのが10の累乗です。
10³ = 1000
10^3=1000
10⁻³ = 1 / 1000 = 0.001
10^{-3}=\frac{1}{1000}=0.001
指数が正なら、0が増えて大きくなります。
指数が負なら、
1をその数で割った形になり、小さくなります。
10⁻³は−1000ではありません。
マイナスは数の符号ではなく、
何分の1にするかを表す指数です。
k・M・m・μも10の累乗で読める
電験3種では、単位の前につく文字も重要です。
k（キロ）は10³。
M（メガ）は10⁶。
m（ミリ）は10⁻³。
μ（マイクロ）は10⁻⁶です。
2 kΩ = 2 × 10³ Ω = 2000 Ω
2\,\mathrm{k\Omega}=2\times10^3\,\mathrm{\Omega}=2000\,\mathrm{\Omega}
5 mA = 5 × 10⁻³ A = 0.005 A
5\,\mathrm{mA}=5\times10^{-3}\,\mathrm{A}=0.005\,\mathrm{A}
3マイクロF = 3 × 0.000001 F
3\,\mathrm{\mu F}=3\times10^{-6}\,\mathrm{F}
大文字のMはメガ、
小文字のmはミリです。
見た目は似ていますが、
10⁶と10⁻³なので大きさはまったく違います。
単位換算で迷ったら、
接頭語を10の累乗に置き換えてから計算しましょう。
平方根は「2乗する前の数」を探す
次は、平方根です。
√9は、
2乗すると9になる0以上の数を表します。
√9 = 3
\sqrt{9}=3
3×3＝9なので、答えは3です。
指数が同じ数を掛けて前へ進む操作なら、
平方根は元の数へ戻る操作です。
正方形の面積が9なら、
一辺の長さは3。
この面積から一辺を求める感覚が、
平方根のイメージです。
√9＝3と、x²＝9の答えは違う
ここは混同しやすいところです。
√9という記号そのものは、
0以上の値である3を表します。
一方、x²＝9を満たすxを探すと、
3だけでなく−3も当てはまります。
x² = 9 → x = ±3
x^2=9\quad\Rightarrow\quad x=\pm3
−3を2乗しても9になるからです。
つまり、
√9＝3。
x²＝9の解はx＝±3。
問題が√の値を聞いているのか、
方程式を満たす数を聞いているのかを確認してください。
また、一般には√(a²)＝|a|です。
aが負でも平方根の答えは0以上になるため、
絶対値がつきます。
電力の式では「2乗の効き方」が見える
抵抗で消費される電力には、
次の公式があります。
P = I²R
P=I^2R
抵抗Rが同じまま、
電流Iが2倍になるとします。
P = (2I)²R = 4I²R
P=(2I)^2R=4I^2R
電流が2倍だから、電力も2倍ではありません。
Iが2乗されているので、
電力は4倍になります。
電流が3倍なら電力は9倍です。
右上の2は、
変化を強くする働きも持っています。
2乗された電流を求めるとき、√で戻る
今度は、P＝I²Rから
電流Iの大きさを求めてみます。
まず、両辺をRで割ります。
I² = P / R
\displaystyle I^2=\frac{P}{R}
Iは2乗されているので、
平方根を使って元へ戻します。
I = √(P / R)
I=\sqrt{\frac{P}{R}}
数学の方程式としては±を考えますが、
電流の大きさを求める問題では通常、正の値を使います。
向きまで扱うときは、
基準に対する正負を別に確認します。
実際の数値で確認する
抵抗8Ωで200Wを消費するとき、
電流の大きさを求めます。
I = √(200 / 8)
\displaystyle I=\sqrt{\frac{200}{8}}
I = √25 = 5 A
I=\sqrt{25}=5\,\mathrm{A}
2乗された電流を、
平方根で一段ずつ元へ戻した形です。
単位も確認します。
W / Ω = A² → √A² = A
\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{\Omega}}=\mathrm{A}^2\quad\Rightarrow\quad\sqrt{\mathrm{A}^2}=\mathrm{A}
求めたい電流の単位Aになっているので、
式の形も確認できます。
よくある五つの間違い
① a²をa×2と考える
2乗は、a×aです。
② (2a)²を2a²とする
2もaも2乗されるので、(2a)²＝4a²です。
③ 10⁻³を負の数だと思う
10⁻³＝0.001で、正の小数です。
④ √(a＋b)を√a＋√bに分ける
一般には、この分け方はできません。
⑤ x²＝9で＋3だけを書く
方程式の解なら、−3も確認します。
まとめ
指数は、同じ数を何回掛けるかを表します。
平方根は、2乗する前の数へ戻る操作です。
10の累乗が読めれば、
k・M・m・μの単位換算が整理できます。
2乗が式に入ると、
元の量の変化が結果へ大きく表れます。
そして、2乗された文字を求めるときは
平方根を使って戻します。
記号だけを暗記せず、
「何回掛けたか」「どこへ戻るか」を見てください。
意味がわかれば、
指数も√も電気の現象を読むための道具になります。
次の記事
STEP1 Lesson4
比例・反比例とグラフ
次は、式の数字を計算する前に、
二つの量がどう変化するのかを読みます。
電圧が増えたら電流はどうなるのか。
抵抗が増えたら電流はどうなるのか。
比例・反比例とグラフを、
オームの法則からつなげていきます。
公式LINE
読むだけで終わらせず、
指数・単位換算・平方根を実際に手を動かして確認できる
電気数学ドリルを用意しています。
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