【STEP3-5】電位と電位差｜STEP2の「高さ」を静電気から見直す

Lesson5　電位と電位差｜STEP2の「高さ」を静電気から見直す

STEP2 Lesson1で、
こう書きました。

水は、高い場所から低い場所へ流れます。
電気でも、二つの点の状態に差があると電荷が動きます。この電位の差を、電圧といいます。

あのとき「電位」という言葉を、
説明せずに使いました。

このLessonで回収します。

そして同時に、STEP3で最も失点が多い分かれ道をはっきりさせます。

• 電界は、距離の 2乗 で効く
• 電位は、距離の 1乗 で効く

この違いを、
理由ごと押さえます。

電位は「1 Cあたりのエネルギー」

Lesson3で、
電界をこう定義しました。

電界＝1 Cあたりに働く力

電位は、
その相棒です。

電位＝1 Cあたりが持っているエネルギー

V=\frac{W}{Q}\ [\mathrm{V}]

W はエネルギー（仕事）［J］、Q は電荷［C］。

つまり 1 V とは、1 Cあたり 1 J のエネルギーを持っている状態です。

1\ \mathrm{V}=1\ \mathrm{J/C}

そして式を並べ替えれば、

W=QV

電荷 Q が電位差 V の区間を移動したときに、
やりとりされるエネルギーです。

STEP2 Lesson9の電力 P=VI とも、
地続きです。
両辺に電流を掛ければ、
単位時間あたりの話になります。

力とエネルギーの関係が、そのまま出てくる

坂道の話に戻ります。

Lesson3で、
電界を「坂の傾き」にたとえました。

では電位は何か。
高さです。

	電界	電位
たとえ	坂の傾き	高さ
1 Cあたりの	力	エネルギー
単位	［V/m］	［V］
向き	ある（矢印）	ない（数値だけ）

ここが決定的です。

電界は向きを持ちますが、
電位は向きを持ちません。

だから電界の合成は矢印を足しますが、
電位の合成はそのまま数を足すだけです。

複数の電荷があるとき、
電位の計算のほうがずっと楽なのは、
このためです。

なぜ電位は1乗なのか

高さと傾きの関係を思い出してください。

傾き × 距離 = 高さの差

電気でも同じです。
一様電界（Lesson4で出た、
平板の間の電界）では、

V=Ed

• V：2点間の電位差［V］
• E：電界［V/m］
• d：距離［m］

この式から、
単位の関係も出ます。

E=\frac{V}{d}\ \Rightarrow\ [\mathrm{V/m}]

Lesson3で ［N/C］と書いていた電界の単位は、［V/m］と同じものでした。
ここで回収です。

そして、
点電荷の場合。

電界が 1/r² で効くところに、
距離 r を掛ける形になるので、

V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r}=k\frac{Q}{r}

r が1乗になります。

• 電界：分母が r²
• 電位：分母が r

分母の違いは、
距離を掛けたかどうかの違いです。
丸暗記しなくても、
区別できます。

基準をどこに置くか

STEP2で「電圧は二点間の差だから、
基準を決めないと数字にならない」と書きました。

電位も同じです。
基準が必要です。

静電気では、
二つの基準がよく使われます。

1. 無限遠を 0 とする（点電荷の問題）
   電荷から無限に離れれば影響はゼロ、という考え方。V = kQ/r はこの基準です。

2. 大地（接地）を 0 とする（実際の設備）
   接地記号があれば、そこが 0 V です。

問題文に「無限遠を基準とする」「接地されている」と書いてあったら、
それは基準の指定です。
読み飛ばさないでください。

電位の合成は、足すだけ

電荷が2つあるとき、
ある点の電位は、

V=V_1+V_2=k\frac{Q_1}{r_1}+k\frac{Q_2}{r_2}

向きを考える必要はありません。
符号だけ気をつけて、
そのまま足します。

負の電荷なら、Q に負号を入れます。

ここで、Lesson3の問4を思い出してください。

同じ正電荷2つの、
ちょうど真ん中の点。

電界は、
左右から反対向きに来て打ち消し合って 0 でした。

では電位は。

向きがないので、
打ち消しません。
二つの電荷による電位が足し算され、
正の値になります。

電界は0なのに、
電位は0ではない。

これがSTEP3で最も出題される「引っかけ」です。
混同していると、
必ず落とします。

計算する前に、予想する

ある点の電位が 60 V でした。
電荷からの距離を3倍にすると、
電位はいくつになりますか。

電位は1乗で効くので、1/3。20 Vです。

同じ条件で、
電界はどうなりますか。

電界は2乗で効くので、1/9になります。

同じ「距離3倍」でも、答えが違います。
何を問われているかを、必ず先に確認してください。

小さな数字で確認する

真空中に 3 μC の点電荷があります。0.9 m 離れた点の電位は。

V=k\frac{Q}{r}=9\times10^9\times\frac{3\times10^{-6}}{0.9}

分子から。

9\times10^9\times3\times10^{-6}=27\times10^{3} V=\frac{27\times10^{3}}{0.9}=3\times10^{4}\ \mathrm{V}

30 000 Vです。

同じ点の電界も出しておきます。

E=k\frac{Q}{r^2}=\frac{27\times10^{3}}{0.81}\approx3.3\times10^{4}\ \mathrm{V/m}

数字が近いので紛らわしいですが、
単位が違います。［V］と［V/m］。

もう一つ、
一様電界の例です。

平行に置いた2枚の板の間に 200 V を加えました。
板の間隔は 2 mm です。
間の電界は。

まず単位。2 mm = 0.002 m。

E=\frac{V}{d}=\frac{200}{0.002}=1\times10^{5}\ \mathrm{V/m}

100 000 V/mです。

わずか 2 mm でも、電位差が 200 V あれば電界はこれだけ強くなります。
間隔を狭くすると電界が強くなる——この感覚が、Lesson7の C = εS/d でそのまま効きます。

はるの気づき

電界と電位を、
私は長いあいだ混ぜていました。

どちらも「電」がついていて、どちらも点電荷の式があって、どちらも分母に r がある。
違いは 2乗か1乗か——そう暗記していました。

だから、
少しひねられると崩れました。

分かれたのは、
たとえを分けてからです。

電界は傾き。
電位は高さ。

傾きは向きがある。高さは向きがない。
だから電界は打ち消し合うことがあり、電位は打ち消し合わない。

そして「傾き × 距離 = 高さ」だから、
電位のほうが r が1つ少ない。

二つの言葉を、
二つの絵に分けた。
それだけで混ざらなくなりました。

似ているものを覚え分けようとすると混ざります。
違う絵にすると、
混ざりません。

電験3種では、ここを確認する

出題のされ方は、
主に4つです。

1. 点電荷の電位を求める
   V = kQ/r。分母が r であることを、電界と間違えない。

2. 複数電荷の電位を求める
   符号を付けて、そのまま足す。向きは不要。

3. 「電界が0の点」と「電位が0の点」を区別する問題
   同じ正電荷2つなら、中点は電界0・電位は正の値。大きさが同じ正電荷と負電荷なら、中点は電位0・電界は0でない。この対比は頻出です。

4. 一様電界での V = Ed
   平行板の問題。mm → m の換算を忘れない。

3つ目が、
このLessonの本丸です。
図を描いて、
矢印（電界）と数値（電位）を別々に書き込んでください。

まとめ

電位は、1 Cあたりが持っているエネルギー。

V=\frac{W}{Q},\qquad W=QV,\qquad V=k\frac{Q}{r}

一様電界では、

V=Ed,\qquad E=\frac{V}{d}

• 電界は傾き、向きがある、距離の2乗で効く
• 電位は高さ、向きがない、距離の1乗で効く
• 電界の合成は矢印、電位の合成は足し算
• 電界が0でも、電位は0とはかぎらない

［N/C］と［V/m］は同じものです。

次からは、ここまでの5つのLessonを一つの部品に集約します。
コンデンサです。

電荷をためる、
電圧がかかる、
間に電界ができる、
エネルギーを持つ——全部つながります。