【STEP3-8】誘電体｜間に物を挟むと、なぜ容量が増えるのか

Lesson8　誘電体｜間に物を挟むと、なぜ容量が増えるのか

Lesson7の最後で、
こうなりました。

22 cm 角ほどの板を 2 mm まで近づけて、
たった 221 pF。

小さすぎます。

実際のコンデンサは、指先に乗る大きさで μF 級の容量を持ちます。
100万倍以上の差です。

この差を作っているのが、
極板の間に挟む物質です。

そして、
その仕組みはLesson1ですでに出ています。
誘電分極です。

挟むと、なぜ増えるのか

極板の間に、
絶縁体を挟みます。

このとき、
絶縁体の中で何が起きるか。

Lesson1で扱ったとおり、
導体の自由電子のように、
電荷が物質の中を自由に移動することはできません。

ただし、
原子・分子の中では電荷の位置がわずかにずれます。

その結果、

• 正の極板に接する面には、負の電荷が現れる
• 負の極板に接する面には、正の電荷が現れる

これが誘電分極です。

ここからが本題です。

この分極でできた電荷は、
極板の電荷と向きが逆です。

だから、
極板がつくる電界を打ち消す向きに働きます。

結果として、
間の電界が弱くなります。

弱くなると、なぜ「たまる」のか

一見、
逆に思えます。
電界が弱いのに、
たくさんためられる。

Lesson5の式で追えます。

V=Ed

間隔 d は変えていません。
電界 E が弱くなれば、
電圧 V も下がります。

そして、

C=\frac{Q}{V}

同じ電荷 Q なのに、電圧 V が下がった。
だから C は大きくなります。

言い換えると、
こうです。

電界を打ち消してくれる物質が入っているので、
同じ電圧まで上がるのに、より多くの電荷を必要とする。

だから「たくさんためられる」。

誘電率と比誘電率

この「打ち消してくれる度合い」を表すのが、
誘電率 ε です。

真空の誘電率を基準にします。

\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\ [\mathrm{F/m}]

そして、
物質の誘電率は、

\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r

εr が比誘電率です。
単位はありません。「真空の何倍か」を表す数字です。

物質	比誘電率 εr（おおよそ）
真空	1
空気	約 1.0006（ほぼ1）
紙	2〜4
ガラス	5〜10
水	約 80

空気はほぼ 1 なので、
問題文で「空気中」とあれば真空と同じに扱って構いません。

そして、Lesson7の式に入れると、

C=\varepsilon\frac{S}{d}=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{d}

比誘電率が εr の物質を挟むと、
容量は εr 倍になります。

これだけです。
難しい操作はありません。

計算する前に、予想する

比誘電率 4 の誘電体を、
極板の間いっぱいに挟みました。
容量はどうなりますか。

**4倍。**素直な比例です。

電源につないだまま挟んだら、
たまる電荷は。

Lesson6・7で決めた読み分けです。

つないだまま → V が一定。C が4倍なので、Q = CV は 4倍。

電源を切り離してから挟んだら、
電圧は。

切り離した → Q が一定。C が4倍なので、V = Q/C は 1/4。

同じ操作、
正反対の答え。
もう見慣れてきたはずです。

そのとき、
電界はどうなりますか。

電圧が 1/4 で、
間隔は変わらない。E = V/d なので、
電界も 1/4。

誘電体が電界を打ち消した——最初に説明したことが、
そのまま数字になりました。

誘電体を「一部だけ」挟むとどうなるか

電験3種でよく出るのが、
これです。

パターン1：面積の半分だけ挟む

左半分に誘電体、
右半分は空気。

この場合、2つのコンデンサが並んでいると考えます。

• 左：面積 S/2、誘電体あり
• 右：面積 S/2、空気

2つは同じ極板を共有していて、どちらにも同じ電圧がかかっています。
これは並列です。

パターン2：厚さの半分だけ挟む

上半分に誘電体、
下半分は空気。

この場合は、2つのコンデンサが積み重なっていると考えます。

• 上：間隔 d/2、誘電体あり
• 下：間隔 d/2、空気

電荷は上下を貫いて共通です。
これは直列です。

どちらのパターンかは、
挟み方の向きで決まります。

• 横に分かれている（面積を分ける）→ 並列
• 縦に重なっている（間隔を分ける）→ 直列

計算方法は次のLessonで扱います。
ここでは「一部だけ挟む問題は、2つのコンデンサに分けて考える」とだけ押さえてください。

小さな数字で確認する

Lesson7で計算した 221 pF のコンデンサ（面積 0.05 m²、間隔 2 mm）に、
比誘電率 5 の誘電体を、すき間なく挟みました。容量は。

C=\varepsilon_r\times C_0=5\times221=1105\ \mathrm{pF}

約 1100 pF。1.1 nF です。

式から直接やっても同じです。

C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{d}=8.85\times10^{-12}\times5\times25\approx1.1\times10^{-9}\ \mathrm{F}

一致しました。

もう一つ。

このコンデンサに、電源を切り離した状態で誘電体を挿入しました。
挿入前の電圧が 200 V だったとして、挿入後の電圧は。

切り離した → Q 一定。C が5倍なので、

V=\frac{Q}{C}=\frac{200}{5}=40\ \mathrm{V}

40 Vまで下がります。

電界も 1/5 になります。

E=\frac{40}{0.002}=2\times10^{4}\ \mathrm{V/m}

挿入前は 1×10⁵ V/m でしたから、
たしかに 1/5 です。

はるの気づき

「誘電体を入れると容量が増える」

これは覚えていました。
試験にも出るので、
当然のように暗記していました。

でも、
なぜ増えるのかは知りませんでした。

だから、
こう聞かれたときに答えられませんでした。

誘電体を入れると、
極板間の電界はどうなりますか。

増えるのか、
減るのか。
容量が増えるのだから、
電界も強くなるのでは——そう考えて、
外しました。

理由をたどれば、
逆でした。

電界が弱くなるから、容量が増えている。
弱くなることが原因で、増えることが結果でした。

原因と結果を逆に覚えていたのです。

暗記した知識は、順番を持ちません。
だから、少し角度を変えて聞かれると崩れます。

「なぜ」を一度たどっておくと、
順番が入ります。

電験3種では、ここを確認する

誘電体は、
単独でも組み合わせでも出ます。
確認すべきは4つ。

1. 比誘電率は「真空の何倍か」
   εr 倍を挟めば、容量も εr 倍。単位はありません。

2. 空気は εr ≈ 1 として扱う
   「空気中」とあれば、真空と同じ計算で構いません。

3. 電源をつないだままか、切り離した後か
   3回目です。ここが本当に効くのが、この誘電体の問題です。

4. 一部だけ挟む問題は、2つに分けて考える
   面積を分ける → 並列
   間隔を分ける → 直列

4つ目は、次のLessonの内容とセットです。
「向きによって直列か並列かが変わる」という発想を、いま持っておいてください。

まとめ

誘電体を挟むと、
誘電分極によって極板の電界が打ち消され、
弱くなります。

同じ電圧に達するのに、より多くの電荷が必要になる。
だから容量が増えます。

\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r,\qquad C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{d}

• 比誘電率 εr の誘電体を挟めば、容量は εr 倍
• 空気は εr ≈ 1
• 電源つないだまま → V 一定、Q が εr 倍
• 電源切り離した後 → Q 一定、V と E が 1/εr

一部だけ挟む問題は、2つのコンデンサに分けます。
面積を分ければ並列、間隔を分ければ直列。

次は、
その直列と並列を正面から扱います。

STEP3で最も取り違えの多い場所です。
公式が抵抗と逆になりますが、暗記の反転としては教えません。
C = εS/d に戻って、構造で説明します。