【STEP3-9】コンデンサの直列と並列｜抵抗と逆になる理由を構造で読む

Lesson9　コンデンサの直列と並列｜抵抗と逆になる理由を構造で読む

STEP3で、最も間違えられる場所です。

理由ははっきりしています。抵抗と逆だからです。

	直列	並列
抵抗	足す	逆数の和
コンデンサ	逆数の和	足す

多くの参考書は、この表を出して「逆なので注意」と書きます。

その覚え方を、このLessonでは採りません。

「逆」で覚えたものは、試験会場でどちらが逆だったか分からなくなります。
反転の反転が起きて、結局五分五分になります。

代わりに、Lesson7の式に戻ります。

C=\varepsilon\frac{S}{d}

面積 S が増えれば容量は増える。間隔 d が増えれば容量は減る。

これだけで、両方とも説明がつきます。

並列は「面積が増えた」のと同じ

2つのコンデンサを並列につなぎます。

両方の上側の極板がつながり、両方の下側の極板もつながっています。

これは、極板を横に並べて広げたのと同じ形です。

Lesson8で出てきた「面積の半分だけ誘電体を挟む」のと、まったく同じ構造です。

面積が増えたのだから、容量は増えます。しかも、そのまま足し算です。

C=C_1+C_2

**並列は足す。**理由は、面積が足されるから。

並列で共通なのは、電圧

2つのコンデンサは、同じ2点の間につながっています。
だから、かかる電圧は同じです。

V_1=V_2=V

そして電荷は、それぞれの容量に応じて分かれます。

Q_1=C_1V,\qquad Q_2=C_2V

**容量が大きいほうに、多くの電荷がたまる。**素直です。

直列は「間隔が広がった」のと同じ

2つのコンデンサを直列につなぎます。

外側から見ると、極板と極板の間に、もう一組の極板が挟まっている形です。

電荷が通り抜ける距離が、長くなっています。

Lesson8の「厚さの半分だけ誘電体を挟む」と同じ構造です。

間隔が増えたのだから、容量は減ります。

そして、減り方は逆数の和になります。

\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}

なぜ逆数か。C = εS/d の d が分母にあるからです。

d を足し合わせるということは、1/C を足し合わせるということです。

\frac{1}{C}\propto d

だから、間隔を足す = 逆数を足す。

**直列は逆数の和。**理由は、間隔が足されるから。

直列で共通なのは、電荷

ここが直列の要です。

直列につながれたコンデンサの、真ん中の部分を見てください。

C₁ の下側の極板と、C₂ の上側の極板が、導線でつながっています。
この部分は、外部とつながっていません。

だから、ここにある電荷の総量は変わりません。片方に +Q が現れれば、もう片方には −Q が現れます。

結果として、すべてのコンデンサに同じ電荷 Q がたまります。

Q_1=Q_2=Q

容量が違っても、電荷は同じ。ここが直感に反するところです。

直列の電圧は、容量の逆比で分かれる

電荷が共通なので、

V_1=\frac{Q}{C_1},\qquad V_2=\frac{Q}{C_2}

容量が小さいほうに、大きな電圧がかかります。

STEP2の分圧と比べてください。

	大きい値の側にかかる電圧
抵抗の直列	抵抗が大きいほうに大きい電圧
コンデンサの直列	容量が小さいほうに大きい電圧

ここも逆に見えますが、理由は同じです。

• 抵抗は「にくさ」 → 大きいほど電圧を食う
• 容量は「やすさ」 → 小さいほどためにくく、電圧が上がる

Lesson6で「抵抗は"にくさ"、容量は"やすさ"、向きが逆」と書きました。
その伏線が、ここで回収されます。

逆になっているのは公式ではなく、言葉の向きです。

実務では、これが重要な意味を持ちます。
容量の小さいコンデンサに電圧が集中するので、直列使用では耐圧不足で壊れることがあります。

計算のコツ

並列

足すだけです。

C=C_1+C_2+C_3+\cdots

直列（2個のとき）

逆数の和を計算し直すより、和分の積が速いです。

C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}

STEP2の並列抵抗で使った形と同じです。2個のときだけ使えます。

直列の検算

直列の合成容量は、必ず一番小さい容量より小さくなります。

3 μF と 6 μF なら、答えは 3 μF より小さいはず。
計算して 4 μF などと出たら、その時点で間違いです。

STEP2で「並列抵抗は一番小さい抵抗より小さい」を使ったのと、同じ検算です。

小さな数字で確認する

3 μF と 6 μF のコンデンサがあります。

並列にした場合

C=3+6=9\ \mathrm{\mu F}

直列にした場合

C=\frac{3\times6}{3+6}=\frac{18}{9}=2\ \mathrm{\mu F}

2 μF。一番小さい 3 μF よりさらに小さくなりました ✓

次に、直列のまま 90 V を加えます。

電荷は共通なので、

Q=CV=2\times10^{-6}\times90=1.8\times10^{-4}\ \mathrm{C}=180\ \mathrm{\mu C}

それぞれの電圧は、

V_1=\frac{180}{3}=60\ \mathrm{V},\qquad V_2=\frac{180}{6}=30\ \mathrm{V}

（μC ÷ μF = V なので、この計算はμのままで大丈夫です）

確認します。

60+30=90\ \mathrm{V}

電源電圧に戻りました ✓

そして、容量が小さい 3 μF のほうに、大きい 60 V がかかっています ✓

容量の比が 3:6 = 1:2 に対して、電圧の比は 60:30 = 2:1。
逆比になっています ✓

はるの気づき

私はこの単元を、「抵抗の逆」として覚えていました。

そして、試験でこう考えました。

抵抗の直列は足す。コンデンサは逆だから……並列が足す？　いや、直列が足す？

逆の逆が分からなくなったのです。

正解率は、五分五分でした。覚えているのに、五分五分。

抜け出せたのは、覚え方をやめてからです。

並列は、極板が横に並んで面積が増える。だから足す。
直列は、極板が縦に重なって間隔が増える。だから逆数。

C = εS/d の、S が増えるのか d が増えるのか。それだけでした。

「逆」で覚えるかぎり、基準を思い出せなければ答えが出ません。
構造で覚えれば、基準がいりません。

覚える量を減らすというのは、こういうことでした。

電験3種では、ここを確認する

出題の中心です。確認すべきは5つ。

1. 直列は電荷が共通、並列は電圧が共通
   これが分かっていれば、あとは Q = CV を使うだけです。

2. 直列の合成は、一番小さい容量より小さくなる
   計算後に必ず確認してください。

3. 直列では、容量が小さいほうに大きな電圧
   分圧の逆比。ここは頻出です。

4. 複雑な回路は、まとめられるところからまとめる
   STEP2の合成抵抗と同じ手順です。

5. 誘電体を一部だけ挟む問題は、直列か並列に読み替える
   Lesson8で扱ったとおり、面積を分ければ並列、間隔を分ければ直列です。

5つ目は、Lesson8とLesson9を両方やった人だけが解ける形です。
出題されると差がつきます。

まとめ

コンデンサの合成は、

\text{並列}:\ C=C_1+C_2\qquad\text{直列}:\ \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}

理由は、C = εS/d に戻れば出ます。

• 並列 → 極板が横に並ぶ → 面積 S が増える → 足す
• 直列 → 極板が縦に重なる → 間隔 d が増える → 逆数の和

共通になる量は、

• 並列 → 電圧が共通
• 直列 → 電荷が共通

そして直列では、容量が小さいほうに大きな電圧がかかります。
抵抗の分圧と逆に見えるのは、抵抗が「にくさ」で容量が「やすさ」だからです。

次は、たまった電荷が持っているエネルギーを扱います。
½ が付く理由を、面積の図で説明します。