【STEP3-4】電気力線とガウスの法則｜見えない電界を本数で数える

Lesson4　電気力線とガウスの法則｜見えない電界を本数で数える

Lesson2で、
こう書きました。

なぜ距離の2乗なのか。
いまは説明しません。Lesson4で種明かしをします。

その回です。

ここが分かると、
静電気の公式に出てくる 4π と r² が、
暗記対象ではなくなります。

電界は矢印だが、矢印は数えられない

Lesson3で、
電界を矢印で描きました。

でも困ったことがあります。矢印は、空間のあらゆる点にあります。
無限にある矢印を、一枚の紙に全部は描けません。

そこで、
間引きます。

矢印を数本の線にまとめて、その線の混み具合で電界の強さを表す。
これが電気力線です。

• 線が混んでいるところ → 電界が強い
• 線がまばらなところ → 電界が弱い

電界の大きさを「本数の密度」に置き換えた、
というだけです。

電気力線の約束ごと

描き方には決まりがあります。
試験でもそのまま問われます。

1. 正の電荷から出て、負の電荷へ入る
2. 途中で交差しない（交差したら、その点で電界の向きが2つあることになる）
3. 途中で枝分かれしない、消えない
4. 導体の表面に垂直に出入りする
5. 導体の内部には存在しない

4と5は、
あとで効いてきます。

導体の内部に電界があると、
自由電子が動き続けてしまいます。
動きが止まった状態（静電気の状態）では、
導体内部の電界は0です。

だから電気力線は導体の中に入れません。
表面で止まります。

本数を決める、たった一つの約束

ここからが本題です。

Q［C］の電荷からは、Q/ε 本の電気力線が出る。

N=\frac{Q}{\varepsilon}

これがガウスの法則です。

「なぜ ε で割るのか」は、いまは飲み込んでください。
ε（誘電率）は、その空間が電気の影響をどれだけ通しにくくするかを表す量です。ε が大きいほど、出る線が少ない。

真空中では、

\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\ [\mathrm{F/m}]

大事なのは、
出る本数が電荷だけで決まるということです。

電荷から 1 m 離れようと 100 m 離れようと、線の本数は変わりません。
線は途中で消えないので、必ず同じ本数が通過します。

ここで、種明かし

電荷 Q を中心にして、
半径 r の球を考えます。

出た線は、
全部この球面を通り抜けます。
本数は Q/ε 本。

球の表面積は、

S=4\pi r^2

電界の大きさは「線の密度」でした。
つまり、

E=\frac{\text{本数}}{\text{面積}}=\frac{Q/\varepsilon}{4\pi r^2}

整理すると、

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}

Lesson3で出した式が、
そのまま出てきました。

見てください。

• 分母の 4π → 球の表面積 4πr² の 4π
• 分母の r² → 球の表面積 4πr² の r²

距離の2乗は、
球の表面積から来ていた。

同じ本数の線が、
距離が2倍になると4倍の面積に散らばる。
だから密度は1/4。

Lesson2で「イメージだけ持ってください」と書いたことが、
式になりました。

クーロンの法則へ戻る

電界が分かれば、
力は F = QE でした。

F=Q_2E=Q_2\times\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\cdot\frac{Q_1Q_2}{r^2}

Lesson2で「そういう形をしている」とだけ言っていた、

k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}

の正体がこれです。

k は謎の定数ではありませんでした。
球の表面積の逆数です。

真空中で計算してみます。

\frac{1}{4\pi\times8.85\times10^{-12}}\approx9\times10^{9}

Lesson2で使った 9×10⁹ が出てきました。

つながりました。

計算する前に、予想する

半径 1 m の球面を、ある電荷から出た電気力線が通過しています。
半径を 2 m にしたら、通過する本数はどうなりますか。

変わりません。

線は途中で消えないので、
どの大きさの球面でも同じ本数が通ります。

では、
電界はどうなりますか。

面積が 4倍になるので、
密度は 1/4。
電界は1/4です。

本数は変わらない、面積が増える、だから密度が下がる。
この3ステップが、そのまま「距離の2乗で弱まる」の中身です。

小さな数字で確認する

真空中に 6 μC の点電荷があります。
(1) 出る電気力線は何本か。
(2) 0.5 m 離れた点の電界は。

(1)

N=\frac{Q}{\varepsilon_0}=\frac{6\times10^{-6}}{8.85\times10^{-12}}\approx6.8\times10^{5}\ \text{本}

およそ68万本です。

(2) 半径 0.5 m の球の表面積は、

S=4\pi\times0.5^2=\pi\approx3.14\ \mathrm{m^2} E=\frac{N}{S}=\frac{6.8\times10^{5}}{3.14}\approx2.2\times10^{5}\ \mathrm{V/m}

確認します。Lesson3の式でも計算してみます。

E=k\frac{Q}{r^2}=9\times10^9\times\frac{6\times10^{-6}}{0.25}=2.16\times10^{5}

一致しました。

本数を面積で割っても、
公式に代入しても、
同じ答えに着きます。

一様電界も、同じ考え方で出る

点電荷ではなく、
広い平板に電荷が一様に並んでいる場合。

線は平板からまっすぐ平行に出ます。
広がりません。

広がらないということは、離れても面積が増えないということ。
つまり、距離が変わっても電界の強さが変わりません。

これが一様電界です。

平行板コンデンサの中がこの状態になります。Lesson7で使います。

点電荷は広がるから弱まる。平板は広がらないから弱まらない。
どちらも「本数と面積」で説明がつきます。

はるの気づき

私はガウスの法則を、
長いあいだ飛ばしていました。

理由は単純で、試験にそのまま出た記憶がなかったからです。
出ないものを勉強する時間はない、と思っていました。

でも、
飛ばしたせいで払った代償の方が大きかった。

クーロンの法則の r²、電界の 4π、あとで出てくる C = εS/d の ε。
全部バラバラの暗記になっていました。

ガウスの法則を1回通しただけで、これが一本につながりました。
覚える公式が減ったのです。

出題されないから無駄、ではありませんでした。
出題される公式の、根っこだった。

遠回りに見える場所ほど、
戻る価値があります。

電験3種では、ここを確認する

直接の計算問題として出ることは、多くありません。
ただし、次の形では頻繁に問われます。

1. 電気力線の性質を選ぶ問題
   交差しない／正から負へ／導体内部には存在しない／導体表面に垂直——この4つは押さえてください。

2. 導体内部の電界は0、という前提を使う問題
   中空の導体球の内部、静電遮へい（シールド）の話は、ここから来ています。

3. 公式を忘れたときの復元
   E = Q / (4πεr²) は、「本数 ÷ 球の表面積」で作り直せます。暗記が飛んでも、その場で組み立て直せる。

3つ目が、
このLessonの本当の価値です。

まとめ

電気力線は、
電界を線の混み具合で表したもの。

• Q［C］から出る本数は Q/ε 本（ガウスの法則）
• 本数は途中で変わらない
• 球の表面積 4πr² で割ると、電界になる

E=\frac{Q/\varepsilon}{4\pi r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}

距離の2乗は、球の表面積から来ています。
比例定数 k は、その逆数 1/(4πε) でした。

そして平板の場合、
線が広がらないので電界は距離によらず一定。
これが一様電界です。

次は、
電界とならぶもう一つの主役、
電位を扱います。

STEP2で「電圧＝高さの差」と言ったあの図を、もう一度使います。
そして、電界が2乗・電位が1乗で効くという、STEP3最大の分かれ道をはっきりさせます。