【STEP3-2】クーロンの法則｜距離が2倍になると、力は4分の1になる

Lesson2　クーロンの法則｜距離が2倍になると、力は4分の1になる

静電気の最初の公式が、これです。

F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}

多くの参考書は、
この式を最初に出します。
そして読者は、
記号を覚えることに全力を
使ってしまいます。

でも、
試験で問われているのは記号の
並びではありません。

「ここを変えたら、
力はどう変わるか」

これが読めるかどうかです。

だから今回は、
公式を後回しにします。
まず、変化だけを先につかみます。

二つの電荷の間には、力が働く

正の電荷と負の電荷は
引き合います。
同じ符号どうしは反発します。

これは経験でも分かります。
下敷きと髪、風船と壁。

問題は、
その力がどのくらいの
大きさかです。

決めているのは、たった二つです。

1. 電荷が大きいか小さいか
2. 二つの電荷が近いか遠いか

これ以外にありません。

電荷の大きさは、そのまま効く

片方の電荷を2倍にすると、
力は2倍になります。

理由は素直です。
引っぱる相手が2倍いれば、
引っぱられる力も2倍になる。

両方とも2倍にすれば、
2×2で4倍です。

つまり、
力はQ₁ とQ₂ の
積に比例します。

F\propto Q_1Q_2

ここは、まだ難しくありません。

距離は「2乗」で効く

問題はこちらです。

距離を2倍にすると、
力は半分ではありません。
4分の1になります。

距離を3倍にすれば、9分の1。

F\propto\frac{1}{r^2}

なぜ2乗なのか。

いま、
その理由を完全に説明することは
しません。
Lesson4で、
電気力線と球の表面積を
使って種明かしをします。

ここでは、
イメージだけ持ってください。

電荷から出ていく「電気の影響」
は、
四方八方へ広がります。
広がる先は、
平面ではなく球面です。

球の表面積は 4πr²。
距離 r が2倍になれば、
表面積は4倍になります。

同じ量の影響が4倍の面積に
散らばるので、
1か所あたりは4分の1。

距離の2乗は、
球の表面積から来ている。

いまは、この一行だけで十分です。

ここで公式を出す

変化が分かったところで、
式にします。

F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}\ [\mathrm{N}]

• F：力［N］
• Q₁, Q₂：それぞれの
  電荷［C］
• r：二つの電荷の距離［m］
• k：比例定数

真空中では、

k\approx9\times10^9\ [\mathrm{N\cdot m^2/C^2}]

この9×10⁹ という値は
覚えておくと計算が速くなります。

そして k は、
あとで出てくる誘電率 εを
使って、
こう書けます。

k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}

ここに 4π が出てくるのが、
球の表面積の名残です。
Lesson4でつながります。
今は「そういう形をしている」
だけで構いません。

計算する前に、予想する

例題です。

> 2つの点電荷の間に働く力が
8N でした。
> 距離をそのままに、
片方の電荷を3倍にしました。
力はいくつになりますか。

計算する前に言えます。

電荷が3倍 → 力も
3倍→ 24 N。

では、次はどうでしょう。

> 電荷はそのままで、
距離を半分にしました。

距離が半分 → 2乗で効くので
1/(1/2)² = 4倍→ 32 N。

では、両方同時なら。

> 片方の電荷を3倍、
かつ距離を半分にしました。

3倍 × 4倍 = 12倍 → 96 N。

公式に数値を代入していません。
変化の倍率だけを
掛け合わせています。

電験3種の選択肢問題では、
この読み方だけで答えが出ること
がよくあります。

小さな数字で確認する

実際に代入もしてみます。

> 2 μC と3 μCの
点電荷が、
真空中で0.3m 離れています。
働く力は。

まず単位を直します。

Q_1=2\times10^{-6}\ \mathrm{C},\quad Q_2=3\times10^{-6}\ \mathrm{C}

代入します。

F=9\times10^9\times\frac{2\times10^{-6}\times3\times10^{-6}}{0.3^2}

分子から片づけます。

9\times10^9\times6\times10^{-12}=54\times10^{-3}

分母は 0.3² = 0.09。

F=\frac{54\times10^{-3}}{0.09}=0.6\ \mathrm{N}

0.6 Nです。

ここで確認をひとつ。
距離を0.3 m から
0.6 m へ倍にしたら、
答えは0.15 N
になるはずです。

0.6\times\frac{1}{4}=0.15\ \mathrm{N}

予想と一致しました。
別の道で
確かめる——STEP2Lesson11で
作った習慣を、
そのまま使ってください。

はるの気づき

私はこの式を、
長いあいだ「分母がr2乗」
として覚えていました。

覚えてはいたのに、問題文が

> 距離を1.5 倍にしたとき

と書いてあると、
手が止まりました。

1.5 の 2乗が出てこない、
ではありません。
そもそも「2乗で効く」を、
変化として使ったこと
がなかったのです。

式の形を記憶することと、
式が表す変化を使えることは、
別のことでした。

だから今は、
公式を
見たら必ず一度こう聞きます。

「この文字を2倍にしたら、
答えは何倍になる？」

これに答えられない公式は、
まだ自分のものになっていません。

電験3種では、ここを確認する

出題のされ方は、
だいたい次の3種類です。

1. 数値を代入して力を
   求める 単位換算（μC → C）と
   9×10⁹ が使えれば解けます。

1. 条件を変えたときの倍率を
   問う 「距離を2倍、
   電荷を4倍にしたら」——代入は
   不要。
   倍率を掛けるだけです。

1. 3つ以上の電荷が並んで
   いる 1対1の力を
   それぞれ求め、
   向きを考えて合成します。
   ここで符号と向きを落とすと
   合いません。

3つ目のとき、
いきなり式を書かないでください。
まず図を描き、
それぞれの力の矢印を
引く。
向きが決まってから、
大きさを計算します。

STEP3の合言葉のとおりです。
見えないものは、
描いてから計算する。

まとめ

二つの点電荷の間に働く力は、

F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2},\qquad k\approx9\times10^9

• 電荷は1乗で
  効く（2倍にすれば2倍）
• 距離は2乗で
  効く（2倍にすれば4分の1）

代入する前に、
倍率で予想してください。
そして距離の2乗は、
球の表面積から来ています。

次は、
この「力」を、
電荷を置く前から
決まっている量として
書き直します。
電界です。