【STEP2-7】Δ-Y変換｜三角形の回路を解ける形へ組み替える

三角形につながった抵抗を見ると、
「直列でも並列でもない」と手が止まりやすくなります。

でも大丈夫です。

Δ-Y変換は、複雑そうな回路を
知っている直列・並列へ戻すための組み替えです。

公式を使うこと自体が目的ではありません。
「計算できる形に変える」ことが目的です。

ΔとYは、外から見ると同じ回路

Δ結線とY結線は、内部のつなぎ方が違います。

それでも端子a・b・cから見た電気的な性質が
同じになるように、抵抗値を決められます。

言い換えると、回路の中身は変えても、
外から見える「顔」は変えません。

この考え方が分かると、
公式はただの暗記ではなくなります。

ΔからYへ変換する

Δ結線には、端子a-b間の抵抗、
b-c間の抵抗、c-a間の抵抗があります。

R_a=\frac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}} R_b=\frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}} R_c=\frac{R_{bc}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}

式が三つ並ぶと、急に難しく見えます。
ここは分子と分母を分けて見ましょう。

分母は、Δの三つの抵抗を全部足す。

分子は、求める端子に接する二つの抵抗を掛ける。

たとえばRaを求めるなら、
端子aに接しているRabとRcaを掛けます。

文字だけで覚えず、
図の端子aを指で追うのがコツです。

YからΔへ戻す

反対に、Y結線からΔ結線へ変えることもできます。

まず、Yの抵抗を二つずつ掛け、
その三つを足したものをSとします。

S=R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a R_{ab}=\frac{S}{R_c} R_{bc}=\frac{S}{R_a} R_{ca}=\frac{S}{R_b}

こちらは、求めたいΔ抵抗と
向かい合うY抵抗で割ると整理できます。

Rabを求めるなら、向かい側にあるRcで割ります。

ここでも、式だけを見ずに
端子と抵抗の位置を図で確認しましょう。

対称なら、もっと簡単になる

三つの抵抗がすべて同じなら、
一般式を毎回計算する必要はありません。

R_Y=\frac{R_\Delta}{3} R_\Delta=3R_Y

ΔからYなら3分の1。
YからΔなら3倍です。

例題｜すべて6ΩのΔをYへ変換する

Δの三つの抵抗が、すべて6Ωだとします。

R_a=\frac{6\times6}{6+6+6}=2\,\Omega

同じようにRbとRcも2Ωです。

R_a=R_b=R_c=2\,\Omega

対称なΔなので、
「6Ωの3分の1」と見ても同じ答えになります。

変換した後が、本当のスタート

ΔをYに変えただけで、
問題が終わるとは限りません。

変換後の回路を見て、周囲の抵抗と
直列・並列にできないかを確認します。

複雑な回路を見つける。
Δ-Y変換で形を変える。
最後に直列・並列でまとめる。

この三段階で考えると、
何をしているのか見失いません。

はるの気づき

Δ-Y変換は、公式の見た目が急に重くなります。

ここで「全部覚えなければ」と思うと、
参考書を閉じたくなりますよね。

最初に覚えてほしいのは、
式ではなく「なぜ形を変えるのか」です。

そのままでは解けない回路を、
自分が知っている形へ戻す。

そのとき、外から見た性質が変わらないようにする。
その約束を数字にしたものが、Δ-Y変換の公式です。

電験3種では、ここを確認する

• 直列・並列だけでは整理できない回路か
• ΔとYの端子a・b・cが対応しているか
• 分子に使う抵抗を図上で確認したか
• 三つの抵抗が同じで、対称性を使えないか
• 変換後に直列・並列の計算を続けたか

まとめ

Δ-Y変換は、複雑な回路を
解ける形へ組み替えるための道具です。

ΔからYでは、分母は三抵抗の合計。
分子は、求める端子に接する二抵抗の積です。

YからΔでは、二つずつの積の合計を
求める抵抗の向かい側にあるY抵抗で割ります。

そして変換後は、直列・並列へ戻れないかを見る。

次は、電源の内側にも抵抗があるとき、
負荷をつなぐと端子電圧が下がる理由を読みます。

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