【STEP3-7】平行板コンデンサ｜静電容量は何で決まるのか

Lesson7　平行板コンデンサ｜静電容量は何で決まるのか

Lesson6で、
静電容量 C を「ためやすさ」として扱いました。

でも、
こう思ったはずです。

その C は、
どうやって決まっているのか。

部品を作る側から見れば、
答えは3つしかありません。

1. 板の広さ
2. 板の間隔
3. 間に何を挟むか

このLessonで1と2を、
次のLessonで3を扱います。

そして今回も、公式は後回しにします。
まず、構造から予想します。

板を広くしたら、どうなるか

電荷は、
板の表面に並んでいます。

板が広ければ、並べる場所が増えます。
だから、同じ電圧でもたくさんためられます。

**面積 S が大きいほど、C は大きい。**素直な比例です。

C\propto S

ここは迷いません。

板を近づけたら、どうなるか

こちらは、
少し考えます。

「近づけたら、
狭くなるからためにくいのでは？」

逆です。
近づけるほど、
たくさんためられます。

理由は2通りの言い方ができます。
どちらでも構いません。

言い方1：引き合う力から

向かい合った板には、正と負の電荷がたまっています。
互いに引き合っています。

近いほど引き合う力が強い（Lesson2）。
強く引きつけ合えるということは、逃げずに留まっていられるということです。

だから、
たくさんためられます。

言い方2：電圧から

Lesson5で、
一様電界の関係を出しました。

V=Ed

同じ量の電荷がたまっていれば、電界 E はほぼ同じです。
そこで間隔 d を半分にすると、電圧 V も半分になります。

C = Q/V なので、V が半分になれば C は2倍。

**間隔 d が小さいほど、C は大きい。**反比例です。

C\propto\frac{1}{d}

言い方2のほうが、
式で追えるぶん確実です。

ここで公式を出す

予想が出そろったので、
式にします。

C=\varepsilon\frac{S}{d}\ [\mathrm{F}]

• C：静電容量［F］
• ε：間の物質の誘電率［F/m］
• S：向かい合っている板の面積［m²］
• d：板の間隔［m］

面積 S は上、
間隔 d は下。

暗記ではありません。

• 広くすれば、ためやすい → 分子
• 離せば、ためにくい → 分母

構造から、
位置が決まります。

ε（誘電率）は次のLessonで扱います。
真空・空気なら ε₀ ≈ 8.85×10⁻¹² F/m です。

極板の間は、一様電界

Lesson4で、
平板から出る電気力線は広がらない、
と書きました。

だから、
極板の間はどこでも同じ強さの電界です。

E=\frac{V}{d}\ [\mathrm{V/m}]

点電荷のように、
離れても弱まりません。

そして、
この式にも d が入っています。

同じ電圧でも、
間隔を狭くすると電界は強くなる。

コンデンサをどこまでも薄く作れないのは、このためです。
電界が強くなりすぎると、間の絶縁が耐えられなくなって放電します（絶縁破壊）。

容量を稼ぎたい → 薄くしたい
でも薄くしすぎると壊れる

実際の部品は、
この綱引きの上に成り立っています。

計算する前に、予想する

C = εS/d の3つの量を、
それぞれ動かしてみます。

面積を2倍にしたら、
容量は。

**2倍。**分子にあるので比例です。

間隔を2倍にしたら、
容量は。

**半分。**分母にあるので反比例です。

面積を2倍、
かつ間隔を半分にしたら。

2倍 × 2倍 = 4倍。

Lesson2でやったのと同じ、
倍率の掛け合わせです。

そしてもう一段。

電源につないだまま、
間隔を半分にしました。
たまる電荷はどうなりますか。

ここで、Lesson6の最後に置いた区別が効きます。

電源につないだまま → 電圧 V が一定。

C が2倍になり、V は変わらないので、Q = CV は 2倍。

では、
電源を切り離してから間隔を半分にしたら。

切り離した → 電荷 Q が一定。

Q は変わらず、C が2倍。V = Q/C なので、
電圧は 半分になります。

同じ「間隔を半分」でも、答えが正反対です。
問題文のどこに「切り離す」と書いてあるかを、必ず探してください。

小さな数字で確認する

面積 0.02 m² の板を、1 mm 離して向かい合わせました。
間は真空です。
静電容量は。

単位を直します。1 mm = 0.001 m = 10⁻³ m。

C=\varepsilon_0\frac{S}{d}=8.85\times10^{-12}\times\frac{0.02}{10^{-3}} =8.85\times10^{-12}\times20=1.77\times10^{-10}\ \mathrm{F}

177 pF です。

面積 0.02 m²（＝約 14 cm 角）もの板を 1 mm まで近づけて、
たった 177 pF。

ファラドがいかに大きな単位かが、これで実感できます。
実際のコンデンサが μF 級の容量を持てるのは、次のLessonで扱う誘電体と、板を巻いたり重ねたりする構造のおかげです。

もう一つ。

このコンデンサに 100 V を加えました。
極板間の電界は。

E=\frac{V}{d}=\frac{100}{10^{-3}}=1\times10^{5}\ \mathrm{V/m}

100 000 V/m。1 mm しか離れていないのに、
これだけの電界になります。

はるの気づき

私はこの式を「シーイコールイプシロンエスぶんのディー」と唱えて覚えていました。

呪文です。
意味は考えていませんでした。

だから、
こう聞かれると答えられませんでした。

極板を離すと、
容量はどうなりますか。

式を思い出そうとして、d が上だったか下だったかで迷う。
迷ったまま適当に答える。

変わったのは、
式を先に思い出すのをやめてからです。

離したら、引き合う力が弱くなる。留めておけなくなる。
だから、ためにくくなる。だから d は分母。

現象から式の形を作れるようになると、
思い出す必要がなくなります。

呪文は忘れます。
理由は忘れません。

電験3種では、ここを確認する

平行板コンデンサは、
そのまま計算問題になります。
確認すべきは4つ。

1. 単位をすべて基本単位に直す
   mm → m、cm² → m²。特に面積は、cm² → m² が 10⁻⁴ 倍です。1万分の1。ここは間違えやすい。

2. C = εS/d と E = V/d を混ぜない
   どちらにも d が入っていますが、求めるものが違います。

3. 「電源につないだまま」か「切り離した後」か
   つないだまま → V 一定
   切り離した → Q 一定
   どちらが一定かを決めてから、変化を追ってください。

4. 絶縁破壊の考え方
   間隔を狭くすると電界が強くなる。耐えられる電界の上限（絶縁耐力）から、使える電圧が決まります。

3つ目は、Lesson8・Lesson10でも繰り返し出てきます。STEP3で最も差がつく読み分けです。

まとめ

平行板コンデンサの静電容量は、

C=\varepsilon\frac{S}{d}

• 面積 S は分子（広ければためやすい）
• 間隔 d は分母（離せばためにくい）
• ε は間の物質で決まる（次のLesson）

極板間は一様電界で、

E=\frac{V}{d}

そして、
条件を変える問題では、

• 電源につないだまま → V 一定
• 電源を切り離した後 → Q 一定

次は、3つ目の要素である ε に入ります。
間に物を挟むと、なぜ容量が増えるのか。

Lesson1で出てきた誘電分極が、
ここで回収されます。