【STEP6-5】線間と相の変換｜√3と30°はどこから出る？

Lesson5 線間と相の変換｜√3と30°を読む

今日のゴール

Lesson3のY結線では電圧側、Lesson4のΔ結線では電流側に√3が現れました。「どちらに掛けるのか」が混ざったら、公式を覚え直す前に、同じ経路か、2本の差かを見ます。

今日は、同じ長さで120°離れた2本のベクトルの差から、√3と30°が出るところまで確かめます。式を全部暗算できなくても、図を見てY・Δのどちらに√3が付くか選べれば、まず十分です。

過去問で「線間電圧200 V」と書かれた瞬間、200に√3を掛けるのか割るのか、手が止まることがあります。そこで今日は値の名前を確認 → 結線を見る → 差になる側を選ぶ、の順で進めます。公式を増やすより、最初の一行を自分で書けるようにしましょう。

この図を見る理由： 答えを急がず、まず問題文の「線間」という一語を確認する場面を思い浮かべるためです。

図から読むこと： 迷ったら数字をすぐ式に入れず、線間値か相値かをノートの最初の一行に書きます。この後、その判断から√3を掛ける側・割る側を選びます。

最初に、線量と相量を分ける

V_Lは線と線の間の電圧、V_Pは一つの相にかかる電圧です。I_Lは外へ出る線に流れる電流、I_Pは一つの相の枝に流れる電流です。ここでは、いずれも実効値の大きさを表します。

問題を解くときは、電圧・電流の数字の横にまず「線」か「相」と書きます。次にY結線かΔ結線かを確認します。この二つを決めてから式を選べば、√3を掛ける側が見えてきます。

120°の差から、√3と30°を出す

電圧ベクトルを例に、同じ長さをVとします。1本目を右向きの0°、2本目をそこから時計回りに120°の−120°に置きます。1本目から2本目を引くときは、2本目の先から1本目の先へ矢印を描きます。Δ結線の電流にも、同じ形の計算を使えます。

この図を見る理由： 最初の2本はどちらも長さVなのに、120°ずれると、先端どうしを結ぶ差が√3Vになることを一目で確かめるためです。

図から読むこと： O→AとO→Bは同じ長さのV。差A−Bは、BからAへ向かう斜めの矢印です。長さは√3V、右向きのO→Aより30°上を向きます。30°はAの内角に描いてあり、斜めの矢印を平行移動して向きを比べても同じ30°です。

ここは、ベクトルを「ふつうの引き算」として扱わないところです。向きが違うため、大きさだけを引いてV−V=0とはできません。

2本目は−120°を向くので、横成分はV cos(−120°)=−V/2、縦成分はV sin(−120°)=−√3V/2です。ここで符号が変わるところを、飛ばさずに見ます。

1本目の成分は横V、縦0。ここから2本目を引くと、横はV−(−V/2)=3V/2、縦は0−(−√3V/2)=√3V/2になります。マイナスを引くため、どちらも正の向きに残ります。

\vec A=V\angle0^\circ,\quad\vec B=V\angle(-120^\circ) \vec A-\vec B=\frac{3V}{2}+j\frac{\sqrt3V}{2}

この図を見る理由： 横3V/2、縦√3V/2、斜辺がベクトルの差という、三つの長さを分けて読むためです。この図は引き算の結果を成分に分けた直角三角形で、元の2本のベクトルを描いた図ではありません。

図から読むこと： 直角三角形の斜辺が差の大きさです。三平方の定理で√((3V/2)²+(√3V/2)²)=√3V。横に対する縦の比は1/√3なので、右向きの基準から30°上を向きます。

|\vec A-\vec B|=\sqrt{\left(\frac{3V}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3V}{2}\right)^2}=\sqrt3V \angle(\vec A-\vec B)=+30^\circ\quad(\vec A\text{を}0^\circ\text{とした場合})

30°の向きは、相順と、どの量を0°に置くかで変わります。まず共通する大きさは√3倍、方向には30°のずれがある、と分けて覚えてください。

Y結線では、電圧が差になる

Y結線では、a相の電圧V_aは中性点Nからa、b相の電圧V_bはNからbです。aとbの線間電圧は、2本の相電圧のベクトル差V_ab=V_a−V_bです。

この図を見る理由： 相電圧はN–aの1本、線間電圧はa–bの2点間だと、測る場所から確認するためです。

図から読むこと： 電圧側は直結ではなく、120°離れた2本の相電圧の差です。平衡した正相でV_aを0°とすれば、V_abは√3倍で30°進みます。線電流は一つの相の枝をそのまま通るので、大きさは相電流と同じです。

\vec V_{ab}=\vec V_a-\vec V_b=\sqrt3V_P\angle(+30^\circ),\qquad V_L=\sqrt3V_P I_L=I_P\qquad(\mathrm{Y}\text{結線})

たとえば線間電圧が200 Vなら、相電圧は200÷√3≈115 Vです。線間から相へ戻すので割る、と測る2点の変化まで言葉にします。

この例で200に√3を掛けると、線間値より相値のほうが大きくなってしまいます。「Yでは線間が相の√3倍」と図へ戻れば、割ると判断できます。

Δ結線では、電流が差になる

Δ結線では、一つの相の枝が二つの線の間に直接つながるため、相電圧と線間電圧は同じです。一方、aの接続点で、線電流I_aは枝電流I_abとI_caのベクトル差になります。

この図を見る理由： a点に入る線電流とc→aの枝電流、a→bへ出る枝電流の向きを、式の前に確認するためです。

図から読むこと： a点ではI_a+I_ca=I_abなので、I_a=I_ab−I_caです。平衡した正相でI_abを0°、I_caを＋120°に置くと、線電流は√3倍で30°遅れます。

\vec I_a=\vec I_{ab}-\vec I_{ca}=\sqrt3I_P\angle(-30^\circ),\qquad I_L=\sqrt3I_P V_L=V_P\qquad(\Delta\text{結線})

たとえば線電流が30 Aなら、相電流は30÷√3≈17.3 Aです。線から相へ戻すので割るのはY結線の例と同じでも、割る対象は電流に変わります。

迷ったときの選び方

結線図で「一つの相と同じ経路・同じ2点」はそのまま等号にします。「120°離れた二つの相の差」を取る側にだけ、平衡時の√3が付きます。

• Y結線：電流はそのままI_L=I_P。平衡時、電圧はV_L=√3V_P。
• Δ結線：電圧はそのままV_L=V_P。平衡時、電流はI_L=√3I_P。

この2行は暗記の入口ではなく、図を読んだ結果の確認に使います。なお、√3の大きさの関係は平衡した三相が前提です。不平衡でも接続点の電流の式は使えますが、必ず√3倍とは言えません。

止まりやすいポイント

• 120°ずれたベクトルの「差」を、大きさだけの引き算にしない。先端同士を結ぶ矢印を描きます。
• 線量から相量へ戻すときは、√3を掛けるのではなく割る側があります。先に与えられた値へ「線」「相」を書きます。
• 30°は必ず進みとは限りません。この記事の基準では、YのV_abはV_aより30°進み、ΔのI_aはI_abより30°遅れます。
• 不平衡の問題には、平衡時の√3の式をそのまま当てはめません。Lesson6で別に扱います。

このLessonのまとめ

• 同じ長さで120°ずれた2本の差は、元の長さの√3倍。基準に対して30°向きがずれます。
• Y結線では電圧が差、電流は同じ経路です。
• Δ結線では電圧は同じ2点、電流が接続点での差です。
• 数字に「線／相」を書き、結線を見て、掛けるか割るかを選びます。

次のLessonへ

Lesson6では、ここまでの平衡という条件をいったん外します。三相負荷がそろわないとき、線電流と中性線の電流がどう変わるかを見ていきます。

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