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はるの世界一わかる電気数学
複素数の基礎
複素数の基礎 — 記号法で、交流を足し算にする
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「なぜそうなるか」を、
つなぎ直すためのレッスンです。
公式を覚えていないのではなく、
その手前の計算でつまずいている。
私の場合は、そこでした。
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はるの世界一わかる電気数学
j は、
90° 回す記号。
90° 回す記号。
複素数の基礎 — 記号法で、交流を足し算にする
1
WHY / なぜ必要か
問題文に 3 + j4 と出てきて、手が止まる。
「虚数」と聞くと、実在しない数のように感じます。
でも電験3種の j は、向きを表す印です。
横（実部）と縦（虚部）を、1つの式に書いているだけ。
三平方とベクトルは、図を描かないと計算できない。
複素数は、その図を式のまま計算する道具です。
並列回路の合成も、電力 S = P + jQ も、全部この書き方。
「虚数」と聞くと、実在しない数のように感じます。
でも電験3種の j は、向きを表す印です。
横（実部）と縦（虚部）を、1つの式に書いているだけ。
三平方とベクトルは、図を描かないと計算できない。
複素数は、その図を式のまま計算する道具です。
並列回路の合成も、電力 S = P + jQ も、全部この書き方。
2
WHAT / 何が起きているか
複素数の形
a + jb
a が実部（横）、b が虚部（縦）。インピーダンスなら Z = R + jX。抵抗は横、リアクタンスは縦。
j の正体
j × j = −1
j を掛けると、矢印が反時計回りに 90° 回る。2回で180°、つまり −1。だからコイルは +jXL（90°進む）、コンデンサは −jXC（90°遅れる）。
大きさと角度
|a + jb| = √(a² + b²) tan θ = b / a
大きさは三平方、角度は tan。力率は cos θ = a / √(a² + b²)。
計算のルール
足し算：実部同士・虚部同士
掛け算は普通に展開して、j² を −1 に。割り算は、分母の共役（a − jb）を上下に掛けて、分母から j を消す。
つまずき複素数でつまずくのは、この3つ
つまずき 1j² を +1 にしてしまう。j × j = −1j は「90° 回す」記号。2回回すと180°、真逆を向く。だから −1。掛け算の展開で j² が出たら、すぐ −1 に置き換えます。
つまずき 2大きさ同士を足してしまう。(3 + j4) + (3 − j4) = 6大きさはどちらも 5 ですが、足した答えは 10 ではなく 6。縦の成分（+4 と −4）が打ち消し合います。足し算は、実部は実部、虚部は虚部で。
つまずき 3分母の j を、そのままにして止まる。1 / j = −j分母と分子に j を掛けると、j / j² = j / (−1) = −j。分母が a + jb なら、共役 a − jb を上下に掛けると分母から j が消えます。
3
HOW / 動かして体感する
点を動かすと、矢印の「大きさ」と「角度」が変わります。× j を押すと、矢印が反時計回りに 90° 回ります。4回押すと元に戻る。j の正体は、それだけです。
複素数
3 + j4
大きさ
5
角度 θ
53.1°
4
WHAT IF / 解いて確かめる
例題電験3種では、こう出る
インピーダンス Z1 = 3 + j4 Ω と Z2 = 3 − j4 Ω を並列につないだ。合成インピーダンスは？
1
並列2つは「和分の積」。複素数のままで使えます。Z = Z1 Z2 / (Z1 + Z2)
2
分子を展開する。j² = −1 を忘れずに。(3 + j4)(3 − j4) = 9 − j12 + j12 − j²16 = 9 + 16 = 25
3
分母は、実部同士・虚部同士で足す。(3 + j4) + (3 − j4) = 6
4
割り算する。Z = 25 / 6 ≒ 4.17 Ω
答え 約 4.17 Ω（虚部ゼロ＝純抵抗）
コイルの回路とコンデンサの回路を並列にすると、j が打ち消し合って純抵抗になることがあります。これが「共振」の入口です。
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