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はるの世界一わかる電気数学
三平方の定理
三平方の定理 — インピーダンス・皮相電力の土台
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「なぜそうなるか」を、
つなぎ直すためのレッスンです。
公式を覚えていないのではなく、
その手前の計算でつまずいている。
私の場合は、そこでした。
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はるの世界一わかる電気数学
足したのに、
合わない理由。
合わない理由。
三平方の定理 — インピーダンス・皮相電力の土台
1
WHY / なぜ必要か
R = 8 Ω、X = 6 Ω。
足して 14 Ω と書いて、選択肢にない。
交流で一番多い「合わない」はこれです。
直流の抵抗は、同じ向きに並んでいるので足し算。
交流の R と X は、90° 向きが違うので足し算になりません。
直角に交わる2つを、1つにまとめる道具。
それが三平方の定理です。
インピーダンス／皮相電力／合成電圧。全部この形。
足して 14 Ω と書いて、選択肢にない。
交流で一番多い「合わない」はこれです。
直流の抵抗は、同じ向きに並んでいるので足し算。
交流の R と X は、90° 向きが違うので足し算になりません。
直角に交わる2つを、1つにまとめる道具。
それが三平方の定理です。
インピーダンス／皮相電力／合成電圧。全部この形。
2
WHAT / 何が起きているか
三平方の定理
a² + b² = c²
直角をはさむ2辺を2乗して足すと、斜辺の2乗になる。斜辺は c = √(a² + b²)。
電験3種で出てくる3つの直角三角形
Z = √(R² + X²) S = √(P² + Q²)
インピーダンス（R・X・Z）、電力（P・Q・S）、電圧（VR・VL・V）。中身は違っても、形は全部同じ直角三角形です。
残りの1辺を出す
X = √(Z² − R²)
斜辺ともう1辺が分かっていれば、斜辺の2乗から引いて √。
覚えておくと速い、整数の比
| 2辺 | 斜辺 | 電験で出る形 |
|---|---|---|
| 3 : 4 | 5 | 力率 0.8／0.6 |
| 6 : 8 | 10 | 3 : 4 : 5 の2倍 |
| 5 : 12 | 13 | インピーダンス |
| 1 : 1 | √2 | 45° |
| 1 : √3 | 2 | 30°・60° |
つまずき三平方でつまずくのは、この3つ
つまずき 1そのまま足してしまう。R = 8 Ω、X = 6 Ω → Z = 14 Ω ？14 Ω ではありません。R と X は90°向きが違うので、斜辺で合成します。√(8² + 6²) = 10 Ω。
つまずき 2RLC直列で、XL と XC を別々に2乗する。X = XL − XC を先に計算コイルは上向き、コンデンサは下向き。向きが逆なので、先に引き算して1本にまとめてから三平方です。√(R² + XL² + XC²) は 間違い。
つまずき 3残りの辺を出すとき、引き算の順番を逆にする。X = √(Z² − R²)斜辺 Z が一番長い辺。だから斜辺の2乗から引く。√(R² − Z²) にすると √ の中がマイナスになり、そこで止まります。
3
HOW / 動かして体感する
R と X のスライダーを動かしてください。横が R、縦が X、斜めの線がインピーダンス Z。R + X（足し算）と Z（斜辺）が、いつもずれることを確かめてください。
R + X（足し算）
14
Z（斜辺）
10
力率 R / Z
0.80
4
WHAT IF / 解いて確かめる
例題電験3種では、こう出る
抵抗 6 Ω、誘導性リアクタンス 12 Ω、容量性リアクタンス 4 Ω の直列回路に、100 V の交流電圧を加えた。電流と力率は？
1
コイルとコンデンサは向きが逆。先に引き算して1本にする。X = 12 − 4 = 8 Ω（コイル側に残る）
2
R と X は直角。斜辺がインピーダンス。Z = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 Ω
3
電流はオームの法則。I = 100 / 10 = 10 A
4
力率は「斜辺分の底辺」。cos θ = R / Z = 6 / 10 = 0.6
答え 10 A、力率 0.6（遅れ）
6 : 8 : 10 は 3 : 4 : 5 の2倍。この比を知っていると、√ を計算する前に答えが見えます。
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