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はるの世界一わかる電気数学
微分積分の“意味”
微分積分の“意味” — 計算の前に、何を求めているかを読む
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「なぜそうなるか」を、
つなぎ直すためのレッスンです。
公式を覚えていないのではなく、
その手前の計算でつまずいている。
私の場合は、そこでした。
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はるの世界一わかる電気数学
微分は傾き、
積分は面積。
積分は面積。
微分積分の“意味” — 計算の前に、何を求めているかを読む
1
WHY / なぜ必要か
e = L di/dt。i = C dv/dt。W = ½ LI²。
dt や ½ が出てきて、手が止まる。
電験3種の計算で、
微分積分の式そのものを解く場面は多くありません。
それでも、法則の式には d や ∫ が書いてある。
必要なのは計算より、意味です。
微分は「変化の速さ」、積分は「たまった量」。
グラフでいえば、傾きと面積。
ここが読めると、½ を覚えなくても式が出てきます。
dt や ½ が出てきて、手が止まる。
電験3種の計算で、
微分積分の式そのものを解く場面は多くありません。
それでも、法則の式には d や ∫ が書いてある。
必要なのは計算より、意味です。
微分は「変化の速さ」、積分は「たまった量」。
グラフでいえば、傾きと面積。
ここが読めると、½ を覚えなくても式が出てきます。
2
WHAT / 何が起きているか
微分 ＝ 変化の速さ（傾き）
di/dt ≒ Δi ÷ Δt [A/s]
1秒あたり、電流がどれだけ変わるか。i-t グラフの傾きです。Δ（デルタ）は「変化量 ＝ 後 − 前」。
積分 ＝ たまった量（面積）
Q = ∫ i dt → 一定なら Q = I × t
i-t グラフの面積が、流れた電荷。電流が一定なら長方形、0 から一定の割合で増えるなら三角形（½ × 底辺 × 高さ）。
電験3種の式を、傾きと面積で読む
コイルe = L × Δi/Δt電流の傾き
コンデンサi = C × Δv/Δt電圧の傾き
電磁誘導e = N × ΔΦ/Δt磁束の傾き
電力量W = P × t電力の面積
½ は三角形から出てくる
W = ½ CV² W = ½ LI²
コンデンサを 0 V から V まで充電すると、Q-V グラフは原点からの直線。たまったエネルギーはその下の三角形の面積で、½ × Q × V = ½ × CV × V = ½ CV²。コイルも同じ形です。
つまずき微分積分でつまずくのは、この3つ
つまずき 1
「大きさ」と「変化の速さ」を混ぜる。
電流 10 A 一定 → コイルの電圧 0 V
コイルに電圧が出るのは、電流が変わっている間だけ。どんなに大きな電流でも、一定なら傾きは 0。直流で落ち着いたコイルが「ただの導線」になる理由です。
つまずき 2
½ を、意味のない係数として暗記する。
面積 = ½ × 底辺 × 高さ
½ CV² の ½ は、三角形の ½。0 から一定の割合で増えていく量をためると、必ず三角形になります。忘れても、グラフを描けば戻れます。
つまずき 3
Δi に「後の値」をそのまま入れる。
3 A → 8 A なら Δi = 8 − 3 = 5 A
Δ は変化量。8 A を入れると、答えが大きくずれます。時間も同じで、Δt は「何秒かけて変わったか」。
3
HOW / 動かして体感する
L = 0.2 H のコイルに流れる電流のグラフです。電流が増えている斜めの部分だけ、コイルに電圧が出ます。「傾き」と「面積」を切り替えて、同じグラフから微分と積分を読んでください。
傾き Δi/Δt
斜めの間のコイル電圧
斜めの間に流れた電荷
平らな所のコイル電圧
0 V
4
WHAT IF / 解いて確かめる
例題電験3種では、こう出る
自己インダクタンス 0.2 H のコイルに流れる電流が、0.01 秒間に 0 A から 5 A まで一定の割合で増え、その後 5 A のまま流れ続けた。
(1) 増えている間の誘導起電力は？
(2) 5 A で一定になった後の誘導起電力は？
(3) 最後にコイルに蓄えられたエネルギーは？
(1) 増えている間の誘導起電力は？
(2) 5 A で一定になった後の誘導起電力は？
(3) 最後にコイルに蓄えられたエネルギーは？
1
電流の傾きを出す。Δi/Δt = (5 − 0) ÷ 0.01 = 500 A/s
2
コイルの電圧は、L × 傾き。e = 0.2 × 500 = 100 V
3
一定になった後は、傾きが 0。e = 0.2 × 0 = 0 V
4
エネルギーは三角形の面積の形。W = ½ × 0.2 × 5² = 2.5 J
答え (1) 100 V (2) 0 V (3) 2.5 J
5 A という大きな電流が流れていても、(2) は 0 V。電圧を決めるのは電流の大きさではなく、変化の速さです。
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