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はるの世界一わかる電気数学
比例・反比例
比例・反比例 — 公式を「倍率」で読む
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「なぜそうなるか」を、
つなぎ直すためのレッスンです。
公式を覚えていないのではなく、
その手前の計算でつまずいている。
私の場合は、そこでした。
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はるの世界一わかる電気数学
2倍にしたら、
何倍になる？
何倍になる？
比例・反比例 — 公式を「倍率」で読む
1
WHY / なぜ必要か
「電線の直径を2倍にすると、抵抗は何倍か」
「極数を4から8にすると、回転速度は」
「光源からの距離を2倍にすると、照度は」
電験3種には、この形の問題がくり返し出ます。
数値を全部入れ直して計算すると、時間が足りない。
見るのは「比例か、反比例か、2乗か」だけ。
公式を倍率の関係として読めると、
暗算に近い速さで答えが出ます。
「極数を4から8にすると、回転速度は」
「光源からの距離を2倍にすると、照度は」
電験3種には、この形の問題がくり返し出ます。
数値を全部入れ直して計算すると、時間が足りない。
見るのは「比例か、反比例か、2乗か」だけ。
公式を倍率の関係として読めると、
暗算に近い速さで答えが出ます。
2
WHAT / 何が起きているか
比例
y = k x
x が2倍なら y も2倍。V = IR（R 一定）の電圧と電流、XL = 2πfL の周波数とリアクタンス。
反比例
y = k ÷ x
x が2倍なら y は 1/2倍。掛け算すると一定（x × y = k）。同期速度 Ns = 120f/p の極数と回転速度、XC = 1/(2πfC) の周波数とリアクタンス。
2乗に比例・2乗に反比例
y = k x² y = k ÷ x²
2倍で4倍、2倍で 1/4倍。損失 P = I²R の電流、照度 E = I/r² の距離、クーロン力の距離。
倍率で解く型
変化後 = 変化前 × 倍率
倍率は、比例なら「その倍率」、反比例なら「逆数」、2乗なら「2乗」。いくつかの量が同時に変わるときは、倍率どうしを掛けるだけ。
x を2倍にしたとき
比例2倍
反比例1/2倍
2乗に比例4倍
2乗に反比例1/4倍
つまずき比例・反比例でつまずくのは、この3つ
つまずき 1
毎回、数値を全部入れ直す。
R' = R × (変わった量の倍率)
ρ や π の値まで入れて計算し直すと、時間も計算ミスも増えます。変わらない量は、倍率を考えるとき全部「1」。変わった量の倍率だけを掛けます。
つまずき 2
直径と断面積を同じ倍率にする。
A = π d² / 4 → 直径2倍で断面積4倍
問題文が「直径」なのに、抵抗を 1/2倍にしてしまう。断面積は直径の2乗に比例するので、直径2倍なら抵抗は 1/4倍です。「半径」「直径」が出たら2乗を疑う。
つまずき 3
何が一定かを決めずに式を選ぶ。
P = I²R P = V²/R P = VI
電力の式は3つあり、どれを使うかで「比例」にも「反比例」にも見えます。R が一定なら電流の2乗に比例。V が一定なら R に反比例。先に「変わらない量」を決めてから式を選びます。
3
HOW / 動かして体感する
関係の種類を選んで、x の倍率を動かすと、y の倍率がグラフ上で動きます。同じ「2倍」でも、関係によって答えが 2倍・1/2倍・4倍・1/4倍に分かれる。ここが全部です。
x の倍率
2 倍
y の倍率
2 倍
4
WHAT IF / 解いて確かめる
例題電験3種では、こう出る
直径 2 mm、長さ 100 m の銅線の抵抗が 0.56 Ω だった。同じ材質で、直径 4 mm、長さ 300 m の銅線の抵抗は？
1
抵抗の式を、倍率の関係として読む。R = ρ L / A → L に比例、A に反比例
2
長さの倍率。300 ÷ 100 = 3倍 → R は 3倍
3
直径が2倍なので、断面積は2乗で4倍。抵抗は逆数。A：2² = 4倍 → R は 1/4倍
4
倍率どうしを掛けて、元の値に掛ける。ρ は使わない。R = 0.56 × 3 × 1/4 = 0.42 Ω
答え 0.42 Ω
ρ の値も、π も、一度も使っていません。変わった量の倍率だけで、答えが出ます。
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