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はるの世界一わかる電気数学
対数計算(dB表現)
対数計算(dB表現) — 掛け算の桁を、足し算で読む
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「なぜそうなるか」を、
つなぎ直すためのレッスンです。
公式を覚えていないのではなく、
その手前の計算でつまずいている。
私の場合は、そこでした。
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はるの世界一わかる電気数学
掛け算を、
足し算にする道具。
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対数計算(dB表現) — 掛け算の桁を、足し算で読む
1
WHY / なぜ必要か
電圧増幅度 40 dB。
log の文字を見た瞬間に、手が止まる。
でも dB は、倍率を「10の何乗か」で数えた数です。
100倍なら、10の2乗。だから 2 を使う。
増幅器を2段つなぐと、倍率は掛け算。
dB で書けば、足し算で済みます。
大きな桁の掛け算を、足し算に変える。
対数がやっているのは、それだけです。
log の文字を見た瞬間に、手が止まる。
でも dB は、倍率を「10の何乗か」で数えた数です。
100倍なら、10の2乗。だから 2 を使う。
増幅器を2段つなぐと、倍率は掛け算。
dB で書けば、足し算で済みます。
大きな桁の掛け算を、足し算に変える。
対数がやっているのは、それだけです。
2
WHAT / 何が起きているか
対数の正体
log₁₀ x ＝ 「10を何乗すると x か」
log₁₀100 = 2、log₁₀1000 = 3、log₁₀1 = 0、log₁₀0.1 = −1。10の右上の小さな数字を取り出す操作です。
掛け算が足し算になる
log(a × b) = log a + log b
log(a ÷ b) = log a − log b log aⁿ = n log a
10² × 10³ = 10⁵ のとき、右上の数字は 2 + 3 = 5。指数の足し算と同じことです。
覚えるのは2つだけ
log₁₀2 ≒ 0.301 log₁₀3 ≒ 0.477
log 4 = 2 × 0.301、log 5 = 1 − 0.301（5 = 10 ÷ 2）、log 20 = 1 + 0.301。ほかは組み合わせで出ます。
dB（デシベル）の式
電力利得 G = 10 log₁₀(P₂ / P₁)
電圧利得 G = 20 log₁₀(V₂ / V₁)
電力は電圧の2乗に比例（P = V²/R）。log の中の2乗は前に出て 2 倍になるので、電圧は 10 ではなく 20。
よく出る値（電圧の場合）
2倍6 dB
10倍20 dB
100倍40 dB
1/2倍−6 dB
電力なら、2倍で 3 dB、10倍で 10 dB、100倍で 20 dB。
つまずきdB でつまずくのは、この3つ
つまずき 1
10 log と 20 log を取り違える。
電圧10倍 = 20 dB 電力10倍 = 10 dB
問題文が「電圧増幅度」なら 20、「電力増幅度」なら 10。式を書く前に、何の倍率かを丸で囲みます。
つまずき 2
2段の倍率を足し、dB を掛ける。
10倍 × 10倍 = 100倍 ⇔ 20 dB + 20 dB = 40 dB
倍率は掛け算、dB は足し算。逆にすると、20倍や 400 dB という答えになります。
つまずき 3
小さくなるとき、マイナスを付けない。
20 log₁₀(1/2) = −20 × 0.301 ≒ −6 dB
1 より小さい数の log はマイナス。減衰（小さくなる）は −dB で表します。0 dB は「1倍＝変わらない」。
3
HOW / 動かして体感する
増幅器を2段つないだ回路です。1段目と2段目の倍率を動かすと、倍率は掛け算、dB は足し算で合計されます。電圧と電力を切り替えて、10 と 20 の違いも確かめてください。
1段目
2段目
全体の倍率
全体の利得
4
WHAT IF / 解いて確かめる
例題電験3種では、こう出る
電圧増幅度が 10倍 の増幅器と 20倍 の増幅器を縦続接続した。全体の電圧利得は何 dB か。ただし log₁₀2 = 0.301 とする。
1
電圧なので 20 log。1段目を dB にする。20 log₁₀10 = 20 × 1 = 20 dB
2
20 を 10 × 2 に分けると、log は足し算になる。log₁₀20 = log₁₀10 + log₁₀2 = 1.301
3
2段目を dB にする。20 × 1.301 ≒ 26.0 dB
4
縦続接続は、dB の足し算。20 + 26.0 = 46.0 dB
答え 約 46 dB
倍率で確かめると 10 × 20 = 200倍。20 log₁₀200 = 20 × 2.301 ≒ 46 dB で、同じ答えになります。
確認20問から毎回5問
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